阮一峰：2分钟的图片和文字让您了解什么是虚数？

撰写|阮一峰有人在Stack Exchange上问了一个问题：“我总是觉得虚数很难理解。这位中学老师说，虚数是-1的平方根。
但是，什么数字平方等于-1？计算器直接显示错误！直到今天，我还没有弄清楚。谁能解释，假想数字到底是什么？它是做什么用的？”在该帖子的底部，许多人给出了自己的解释，并推荐了一篇很棒的文章“虚数图”。
读完之后，我突然意识到自己是开悟的。事实证明，虚数非常简单，并不奇怪，也很难理解！下面，我将使用自己的语言来描述我所理解的虚数。
1.什么是虚数？首先，假设有一条带有两个相反点的数字线：+1和-1。该数字轴的正部分可以绕原点旋转。
显然，如果您逆时针旋转180度，则+1将变为-1。这相当于逆时针旋转90度。
因此，我们可以得到以下关系：（+1）*（逆时针旋转90度）*（逆时针旋转90度）=（-1）如果消除了+1，则该公式变为：（逆时针旋转90度） ^ 2 ＝（-1）记录“逆时针旋转90度”。如i：i ^ 2 =（-1）这个公式是熟悉的，它是虚数的定义公式。
因此，我们可以知道虚数i逆时针旋转90度，而i不是数字，而是一个旋转。 2.复数的定义由于i表示旋转量，因此我们可以使用i表示任何实数的旋转状态。
将实数轴作为水平轴并将虚数轴作为垂直轴，形成二维平面。旋转到某个角度的任何正实数必须唯一地对应于此平面中的某个点。
只需确定横坐标和纵坐标，例如（1，i），就可以确定实数的旋转量（45度）。数学家使用一种特殊的表示方法来表示此二维坐标：使用+号连接横坐标和纵坐标。
例如，将（1，i）表示为1 + i。这种表示方法称为复数，其中1称为实数部分，而i称为虚数部分。
为什么要这样表达二维坐标？下一节将告诉您原因。 3.虚数的作用：加法虚数的引入极大地方便了涉及旋转的计算。
例如，物理学需要计算“力的组成”。假设一个力是3 + i，另一个力是1 + 3i。
他们的合力是多少？根据“平行四边形规则”，您立即得到合力为（3 + i）+（1 + 3i）=（4 + 4i）。这是虚数加法的物理含义。
虚数的功能：乘法如果涉及旋转角度的变化，则处理起来更方便。例如，一艘船的航向是3 + 4i。
如果船舶的航向逆时针方向增加了45度，那么新航向是什么？ 45度航向为1 + i。要计算新的标题，只需将这两个标题3 + 4i和1 + i相乘（原因将在下一节中说明）：（3 + 4i）*（1 + i）=（-1 + 7i）因此，该船的新航向是-1 + 7i。
如果航向逆时针方向增加90度，则更为简单。因为90度航向为i，所以新航向等于：（3 + 4i）* i =（-4 + 3i）这是虚乘的物理含义：更改旋转角度。
V.虚数乘法的数学证明为什么复数仅通过进行乘法才能改变旋转角度？以下是其数学证明，实际上非常简单。任何复数a + bi都可以用旋转半径r和水平轴之间的角度θ的形式重写。
假设有两个复数a + bi和c + di，则可以将它们重写为：a + bi = r1 *（cosα+isinα）c + di = r2 *（cosβ+isinβ）这两个复数相乘在一起，（a + bi）（c + di）等于r1 * r2 *（cosα+isinα）*（cosβ+isinβ）展开下面的乘法以获得cosα*cosβ-sinα*sinβ+ i（cosα*sinβ+ sinα*cosβ）根据三角函数公式，上式等于cos（α+β）+ isin（α+β）。因此，（a + bi）（c + di）＝ r1 * r2 *（cos（α+β）+ isin（α+β））这证明将两个复数相乘等效于将旋转半径相乘并加上旋转角度。
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